두암동 수학학원 가우스 Day 63
고1 공통수학 | 도형의 방정식
외분점 공식
핵심 개념
외분점 공식은 두 점 A(x1, y1)와 B(x2, y2)를 m:n으로 외분하는 점 P의 좌표를 구하는 공식입니다. 외분점은 선분의 연장선상에 위치하며, 두 점 사이의 비율을 확장하여 계산합니다. 이 공식은 주어진 두 점 사이의 특정 비율로 떨어진 점을 찾을 때 유용합니다.
외분점 공식은 기하학적 문제 해결에 필수적입니다. 특히, 도형의 방정식 문제에서 특정 점의 위치를 구하는 데 활용됩니다. 이를 통해 복잡한 도형 문제를 보다 쉽게 해결할 수 있습니다.
외분점 공식은 내분점 공식과 밀접한 관련이 있습니다. 두 공식 모두 선분을 특정 비율로 나누는 점을 찾는 데 사용되지만, 외분점은 선분의 연장선상에 위치한다는 점에서 차이가 있습니다. 이러한 개념은 좌표 기하학의 기본적인 도구로 활용됩니다.
공식과 성질
(x, y) = ( (mx2 – nx1) / (m – n), (my2 – ny1) / (m – n) )
외분점 공식은 두 점 A와 B를 m:n으로 외분하는 점 P의 좌표를 계산합니다. 이 공식은 선분의 연장선상에서 특정 비율로 떨어진 점을 찾는 데 사용됩니다. 외분점은 내분점과 달리 선분의 바깥쪽에 위치합니다.
(x, y) = ( (nx1 – mx2) / (n – m), (ny1 – my2) / (n – m) )
응용 공식은 외분점의 위치를 반대로 설정하여 계산할 때 사용됩니다. 이 경우, 두 점 사이의 비율이 반대로 적용됩니다. 이를 통해 다양한 문제 상황에 맞게 외분점을 계산할 수 있습니다.
단계별 예시
기초 단계
예시 1 – 가장 기본
점 A(2, 3)과 점 B(8, 7)을 2:1로 외분하는 점의 좌표를 구하세요.
→ 풀이: (x, y) = ( (2*8 – 1*2) / (2 – 1), (2*7 – 1*3) / (2 – 1) ) = (14, 11)
예시 2 – 기초 응용
점 A(-3, 4)와 점 B(5, -2)를 3:2로 외분하는 점의 좌표를 구하세요.
→ 풀이: (x, y) = ( (3*5 – 2*(-3)) / (3 – 2), (3*(-2) – 2*4) / (3 – 2) ) = (21/5, -14/5)
중급 단계
예시 3 – 복합 문제
점 A(1, 1)과 점 B(4, 5)를 4:3으로 외분하는 점의 좌표를 구하세요.
→ 풀이: (x, y) = ( (4*4 – 3*1) / (4 – 3), (4*5 – 3*1) / (4 – 3) ) = (13, 17)
예시 4 – 응용 유형
점 A(0, 0)과 점 B(6, 8)를 5:2로 외분하는 점의 좌표를 구하세요.
→ 풀이: (x, y) = ( (5*6 – 2*0) / (5 – 2), (5*8 – 2*0) / (5 – 2) ) = (10, 40/3)
심화 단계
예시 5 – 고난도 문제
점 A(3, -1)과 점 B(-2, 4)를 7:3으로 외분하는 점의 좌표를 구하세요.
→ 풀이: (x, y) = ( (7*(-2) – 3*3) / (7 – 3), (7*4 – 3*(-1)) / (7 – 3) ) = (-29/4, 31/4)
시험 대비 핵심
반드시 기억할 것
- 핵심 포인트 1 – 외분점과 내분점의 차이를 이해
- 핵심 포인트 2 – 비율의 정확한 적용
- 핵심 포인트 3 – 좌표 계산 시 부호 주의
- 핵심 포인트 4 – 문제 유형별 접근 방법
- 핵심 포인트 5 – 연계된 도형 문제와의 연결
실수 주의!
실수 1: 외분점과 내분점을 혼동하지 않기
실수 2: 비율 계산 시 분모와 분자의 부호에 주의
실수 3: 문제에서 요구하는 비율을 정확히 파악
학습 팁
외분점 공식을 이해하기 위해 다양한 문제를 풀어보세요. 문제를 풀 때는 비율과 좌표의 관계를 시각적으로 그려보는 것이 도움이 됩니다.
연습 문제를 통해 외분점과 내분점의 차이를 명확히 이해하고, 이를 바탕으로 문제를 해결하는 능력을 키우세요.