두암동 수학학원 가우스 Day 58

고1 공통수학 | 방정식과 부등식

판별식과 근의 개수 (대표 유형 정리)

공식과 성질

이 공식은 이차방정식의 근의 개수를 판단하는 데 사용됩니다. D의 값이 양수, 0, 음수일 때 각각 두 실근, 중근, 허근이 존재함을 알려줍니다. 이는 방정식의 해를 구하는 과정에서 매우 유용합니다.

D > 0일 때 두 실근이 존재하며, 이는 그래프가 x축을 두 번 교차함을 의미합니다. D = 0일 때는 중근이 존재하여 그래프가 x축에 접합니다. D < 0일 때는 허근이 존재하여 그래프가 x축을 교차하지 않습니다.

예시 1 – 가장 기본

이차방정식 x² – 4x + 3 = 0의 근의 개수를 구하시오.

→ 풀이: D = (-4)² – 4(1)(3) = 16 – 12 = 4 > 0이므로 두 실근이 존재합니다.

예시 2 – 기초 응용

이차방정식 2x² – 4x + 2 = 0의 근의 개수를 구하시오.

→ 풀이: D = (-4)² – 4(2)(2) = 16 – 16 = 0이므로 중근이 존재합니다.

예시 3 – 복합 문제

이차방정식 x² + 2x + 5 = 0의 근의 개수를 구하시오.

→ 풀이: D = (2)² – 4(1)(5) = 4 – 20 = -16 < 0이므로 허근이 존재합니다.

예시 4 – 응용 유형

이차방정식 3x² – 6x + 2 = 0의 근의 개수를 구하시오.

→ 풀이: D = (-6)² – 4(3)(2) = 36 – 24 = 12 > 0이므로 두 실근이 존재합니다.

예시 5 – 고난도 문제

이차방정식 4x² + 4x + 1 = 0의 근의 개수를 구하시오.

→ 풀이: D = (4)² – 4(4)(1) = 16 – 16 = 0이므로 중근이 존재합니다.

반드시 기억할 것

• 핵심 포인트 1 – 판별식의 부호에 따른 근의 개수
• 핵심 포인트 2 – 판별식 계산 시 실수 주의
• 핵심 포인트 3 – 중근의 의미와 그래프 해석
• 핵심 포인트 4 – 허근의 존재와 그래프
• 핵심 포인트 5 – 다양한 문제 유형에 적용

실수 주의!

실수 1: b² – 4ac 계산 시 부호 실수 주의

실수 2: 중근과 두 실근의 차이를 혼동하지 않도록 주의

실수 3: 허근의 개념을 정확히 이해하고 문제에 적용

학습 팁

판별식을 이해하는 데 있어 다양한 문제를 풀어보는 것이 중요합니다. 특히, 두암동 수학학원에서는 다양한 유형의 문제를 통해 실력을 키울 수 있습니다.

문제를 풀 때는 판별식의 계산 과정을 꼼꼼히 확인하고, 실수하지 않도록 주의하세요.