두암동 수학학원 가우스 Day 50

고1 공통수학 | 방정식과 부등식

판별식과 근의 개수 (자주 틀리는 포인트)

공식과 성질

이 공식은 이차방정식의 근의 개수를 판단하는 데 사용됩니다. D의 부호에 따라 실근의 개수가 결정되며, 이는 방정식의 해석에 중요한 역할을 합니다.

이 응용 공식은 방정식의 해를 구체적으로 분석할 때 유용합니다. 특히, 그래프의 형태와 교점을 예측하는 데 필수적입니다.

예시 1 – 가장 기본

이차방정식 x² – 4x + 3 = 0의 판별식을 구하고, 근의 개수를 판단하세요.

→ 풀이: D = (-4)² – 4(1)(3) = 4. D > 0이므로 두 개의 실근을 가집니다.

예시 2 – 기초 응용

이차방정식 x² – 2x + 1 = 0의 판별식을 구하고, 근의 개수를 판단하세요.

→ 풀이: D = (-2)² – 4(1)(1) = 0. D = 0이므로 중근을 가집니다.

예시 3 – 복합 문제

이차방정식 2x² + 3x + 1 = 0의 판별식을 구하고, 근의 개수를 판단하세요.

→ 풀이: D = 3² – 4(2)(1) = 1. D > 0이므로 두 개의 실근을 가집니다.

예시 4 – 응용 유형

이차방정식 x² + x + 1 = 0의 판별식을 구하고, 근의 개수를 판단하세요.

→ 풀이: D = 1² – 4(1)(1) = -3. D < 0이므로 허근을 가집니다.

예시 5 – 고난도 문제

이차방정식 3x² – 6x + 2 = 0의 판별식을 구하고, 근의 개수를 판단하세요.

→ 풀이: D = (-6)² – 4(3)(2) = 12. D > 0이므로 두 개의 실근을 가집니다.

반드시 기억할 것

• 핵심 포인트 1 – 판별식 D의 부호에 따른 근의 개수
• 핵심 포인트 2 – D = 0일 때 중근의 의미
• 핵심 포인트 3 – D < 0일 때 허근의 존재
• 핵심 포인트 4 – 그래프와의 연관성
• 핵심 포인트 5 – 실수 방지를 위한 검토

실수 주의!

실수 1: D의 계산 실수로 인한 잘못된 근의 개수 판단

실수 2: D = 0일 때 중근을 놓치는 경우

실수 3: 허근을 실근으로 착각하는 경우

학습 팁

판별식을 계산할 때는 항상 b² – 4ac의 부호를 주의 깊게 확인하세요. 실수 방지를 위해 문제를 풀기 전, 각 항의 값을 정확히 대입하는 연습을 꾸준히 하세요.

연습 문제를 통해 다양한 유형의 방정식을 다뤄보는 것이 중요합니다. 특히, 시험 전에 여러 번의 반복 학습을 통해 실수를 줄이는 것이 좋습니다.